El más pequeño entero positivo que no pueda ser definido con menos de veinte palabras.

G.G. Berry

Algunas veces escucho hablar de que algún conjunto es muy pequeño, mi mente vaga hacia teoría de la medida. En especial en los conjuntos de medida cero, que no son conjuntos vacíos pero cuya valor asignado —lo que estamos midiendo— es cero. Algunas veces son descritos como conjuntos pequeños, despreciables, insignificantes o insustanciales, dando la idea de que se trata de conjuntos de menor tamaño, sin embargo cuando hablamos de conjuntos infinitos esto debe ser tomado con cuidado. Y ejemplifico

Sea (Ω,A,P) un espacio de probabilidad donde

Ω = [0,1]

A = (Ω)  conjunto potencia de Ω, i.e. la mayor σ-álgebra de Ω

P = la medida de Lebesgue.

Sea N el conjuto de los números normales en base 2 (número binarios para simplificar la demostración).

Esto es si x es un número expresado en notación binaria

…   donde

entonces decimos que si

Esto quiere decir que los 0’s y 1’s aparecen uniformement en la expansión decimal de cualquier número de ese conjunto. Inclusive eso es cierto para cualquier combinación finita de cifras, digamos el 01110 aparece regularmente y la frecuencia ahora sería    en general para cualquier cifra de tamaño n su frecuencia sería: .

Entonces la medida del conjunto N es igual a 1 P(N) = 1 = P(Ω) lo que muchos dicen que N es casi todo el conjunto Ω o que la medida se concentra en N, la segunda afirmación es evidente, pero

Si ahora, usando la misma expansión binaria, consideramos el conjunto

donde ahora  si

Los conjuntos son conjuntos disjuntos —cacofonía rítmica— es decir para r  s además todos ellos tienen medida cero excepto cuando p = lo que nos proporciona un conjunto de la misma cardinalidad de los número reales

No importa si esos conjuntos son o no —como tenemos libertad religiosa podemos creer o no en la hipótesis del continuo— el caso es que podría ser una partición del conjunto de [0,1] —añadiendo el complemento del todos para asegurarnos de que sea completa— donde solamente uno de esos conjuntos tiene medida 1 y los demás 0. ¿Ahora no parece tan grande el conjunto de los conjuntos normales?

Además estoy seguro que hay sendas medidas para cada p, aunque no sean invariables bajo traslación pero resultarían interesantes, por ejemplo una de ellas podría representar el comportamiento de una moneda que no sea completamente justa —al lanzar volados porque en economía ninguna moneda es justa— honestamento no tengo idea si estas cavilaciones ya están documentadas en algún lado, si algún lector lo sabe le agradecería infinitamente cualquier información.

Acaso el motivo de esta entrada —ligeramente diferente a las demás— no quede muy clara, puede parecer una lección chafa de un maestro que no preparó la clase en Teoría de la Medida, quizá lo hice para practicar el uso de mi oxidado en WordPress o tal vez para mostrar mi marcada preferencia por los conjuntos que no son normales. La verdad es que es la preparación para el siguiente post.

Continuará …